Question

【题目】已知F为抛物线E：（p＞0）的焦点，C（，1）为E上一点，且|CF|=2．过F任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线E于P，Q和M，N两点，A，B分别为线段PQ和MN的中点．

（1）求抛物线E的方程及点C的坐标；

（2）试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；

（3）证明直线AB经过一个定点，求此定点的坐标，并求△AOB面积的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 抛物线方程为，或 ；(2) 是定值，定值为；(3) 过定点；面积的最小值为6.

【解析】

根据抛物线的性质和定义即可求出，代值计算即可求出点C的坐标，

设直线的方程为，，则直线的方程为，设，，，，根据抛物线定义可得，，再分别联立方程组根据韦达定理可得，，即可求出，

设，，由分别求出点A，B的坐标，求出直线AB的斜率，写出直线方程，即可得到直线过定点，再根据两点之间的距离公式和点到直线的距离公式可得表示三角形面积，根据基本不等式即可求出最值

解：抛物线E：的准线方程为，

为E上一点，且，

，即，

抛物线方程为，

当时，，

即或．

由可得，

设直线的方程为，，则直线的方程为，

设，，，，

，，

由，，分别消x可得，，，

，

，

，

故是为定值，定值为．

设，，

，B分别为线段PQ和MN的中点，

由可得，，

，，

则直线AB的斜率为，

直线AB的方程为，即，

直线AB过定点，

点到直线的距离，

，当且仅当时取等号．

故面积的最小值为6．