Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2a=3b=4c，则$\frac{sin2A}{sinB+sinC}$=-$\frac{11}{14}$．

Answer 1

分析 设2a=3b=4c=k，则：a=$\frac{k}{2}$，b=$\frac{k}{3}$，c=$\frac{k}{4}$，由正弦定理可得：sinA=$\frac{k}{4R}$，sinB=$\frac{k}{6R}$，sinC=$\frac{k}{8R}$，由余弦定理可得cosA=-$\frac{11}{24}$，利用倍角公式代入即可求值．

解答 解：∵设2a=3b=4c=k，则：a=$\frac{k}{2}$，b=$\frac{k}{3}$，c=$\frac{k}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$可得：sinA=$\frac{k}{4R}$，sinB=$\frac{k}{6R}$，sinC=$\frac{k}{8R}$，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{9}+\frac{{k}^{2}}{16}-\frac{{k}^{2}}{4}}{2×\frac{k}{3}×\frac{k}{4}}$=-$\frac{11}{24}$．
∴$\frac{sin2A}{sinB+sinC}$=$\frac{2sinAcosA}{sinB+sinC}$=$\frac{2×\frac{k}{4R}×（-\frac{11}{24}）}{\frac{k}{6R}+\frac{k}{8R}}$=-$\frac{11}{14}$．
故答案为：-$\frac{11}{14}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，倍角公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于中档题．