Question

如图1,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结、,其中.

(Ⅰ)求证:平面；
(Ⅱ)在线段上是否存在点使得平面?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)求点到平面的距离.

Answer 1

(Ⅰ)答案详见解析；(Ⅱ)存在，；(Ⅲ) .

试题分析：(Ⅰ)三角形和三角形中，各边长度确定，故可利用勾股定理证明垂直关系
，进而由线面垂直的判定定理可证明平面；(Ⅱ)要使得平面，只需，因为，故；(Ⅲ)点到平面的距离，就是点到平面垂线段的长度，如果垂足位置不易确定，可考虑等体积转化，该题中点到面的距离确定，故可利用求点到平面的距离.
试题解析：(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知,,,在中,,所以， 在图中,易得,
在中,,所以，又,平面,平面,所以平面.

(Ⅱ)当为的三等分点(靠近)时,平面.证明如下:
因为,,所以 ， 又平面,平面,所以平面.
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高.
设点到平面的距离为,由等体积法得, 即,又,, 所以, 即点到平面的距离为.