Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数与函数的零点情况；

（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.

注：.

Answer 1

【答案】（1）当时，不存在零点；当时，有一个零点为，当时, 不存在零点，当时，不存在零点，当且时，有一个零点为；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据对数函数的单调性与值域可得当时，不存在零点；当时， 函数有且仅有一个零点，根据幂函数的性质可得当时, 不存在零点，当时，不存在零点，当且时，有一个零点；（2）当，函数在区间上单调递增.又，符合题意；当时，存在，使，不合题意，综合两种情况可得结果.

试题解析：（1）函数，

当时，不存在零点；当时，

所以函数有且仅有一个零点为.

函数.

当时,不存在零点；

当时，，且函数的定义域是，此时函数不存在零点；

当且时，令，得，得，此时函数有且仅有一个零点为.

（2）若，则，.

令，得，则函数的定义域是；

令，得，则函数的定义域是.

因为对任意恒成立，

所以对任意恒成立.

令，则对任意恒成立.

.

讨论：当，即时，且不恒为0，

所以函数在区间上单调递增.

又，

所以对任意恒成立.故符合题意；

当时，令，得.

令，得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以.又，所以当时，存在，使.

故知对任意不恒成立.故不符合题意.

综上，实数的取值范围是.