Question

6．f（x）=ax³-3x+2，对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a的取值范围是[1，5]．

Answer 1

分析 当x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+2≥0可化为：a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，设g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，求出函数的导数，由导数性质求出a≥1；x∈[-1，0）时，求出a≤5，由此求出a的范围．

解答 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：
a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，设g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
则g′（x）=$\frac{6（1-x）}{{x}^{4}}$＞0，
所以g（x）在区间（0，1]上单调递增，
因此g（x）_max=g（1）=1，从而a≥1；
当x＜0即x∈[-1，0）时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：
a≤$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，设g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
则g′（x）=$\frac{6（1-x）}{{x}^{4}}$＞0，
g（x）在区间[-1，0）上单调递增，
因此g（x）_min=g（-1）=5，从而a≤5，
综上a∈[1，5]．
故答案为：[1，5]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．