Question

设函数f（x）=|x+a+1|+|x+a-1|的图象关于y轴对称，函数g（x）=-x³+bx²+cx（b为实数，c为正整数）有两个不同的极值点A、B，且A、B与坐标原点O共线：
（1）求f（x）的表达式；
（2）试求b的值；
（3）若x≥0时，函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方，求正整数c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为函数f（x）=|x+a+1|+|x+a-1|的图象关于y轴对称，所以f（-1）=f（1），由此列方程即可解得a的值
（2）因为函数g（x）=-x³+bx²+cx（b为实数，c为正整数）有两个不同的极值点A、B，故先求此函数的导函数g′（x），由g′（x）=0得A、B的横坐标，而A、B与坐标原点O共线，由OA与OB的斜率相等，列方程即可解得b的值
（3）先研究函数f（x）的性质，由绝对值三角不等式可得其最小值为2，再研究函数g（x）的性质，利用导数得函数g（x）在[0，+∞）上在x=处取得最大值，最后由函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方，列不等式即可解得c的范围，因为c为正整数，可求c值
解答：解：（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（-1）=f（1），即|a+2|=|a-2|，
解得a=0，
∴f（x）=|x+1|+|x-1|
（2）设x₁、x₂是函数g（x）的两个极值点，
则x₁、x₂是方程g′（x）=-3x²+2bx+c=0的两个不等实根，
则△=4b²+12c＞0（c为正整数）
∴
又∵A、O、B三点共线
∴
即（x₁-x₂）[-（x₁+x₂）+b]=0，又∵x₁≠x₂，
∴，
∴b=0
（3）∵f（x）=|x+1|+|x-1|≥|（x+1）+（1-x）|=2
∴f_min（x）=f（1）=2
∵x≥0时函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方
∴f（1）＞g（1），即2＞c-1
∴0＜c＜3，∴，
又∵g（x）=-x³+cx，令g′（x）=-3x²+c=0，
∴g（x）在[0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减
且
即g（x）在[0，+∞）上的最大值小于函数f（x）的最小值f（1）=2
∴0＜c＜3即可使函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方
又∵c为正整数
∴c=1或2
点评：本题综合考查了函数的奇偶性（对称性），函数的极值与导数的关系，导数在函数单调性和最值中的应用，不等式恒成立问题的解法