Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n＞0，（n∈N*），且{b_n}是以q为公比的等比数列．
（I）证明：a_n+2=a_nq²；
（II）若c_n=a_2n-1+2a_2n，证明数列{c_n}是等比数列；
（III）求和：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，代入得，从而得到结论；
（II ）根据a_n的递推关系求出a_2n-1与a_2n，然后代入c_n=a_2n-1+2a_2n可得c_n=5q^2n-2，从而{c_n}是首项为5，以q²为公比的等比数列．、；
（III）讨论q是否为1，然后利用等比数列求和公式进行求解即可，最后利用分段形式表示即可．
解答：解：（I）证：由，有，∴a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（ II）证：∵a_n=q_n-2q²，∴a_2n-1=a_2n-3q²=…=a₁q^2n-2，a_2n=a_2n-2q²=…=a₂q^n-2，
∴c_n=a_2n-1+2a_2n=a₁q^2n-2+2a₂q^2n-2=（a₁+2a₂）q^2n-2=5q^2n-2．
∴{c_n}是首项为5，以q²为公比的等比数列．
（ III）由（ II）得，，于是==．
当q=1时，=．
当q≠1时，==．
故
点评：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．