Question

已知函数f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x²+x．
（1）当a=

1

2

时，求函数g（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a₁=1，且（n+1）a_n+1=na_n，S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：当n≥2时，S_n＜1+lnn．

Answer 1

（1）f（x）=ln（1-x）+x，定义域为（-∞，1），g′(x)=1-

1

1-x

，令g'（x）=0得x=0，
可以列表，也可以直接研究g'（x）的正负，得g（x）的单调递增区间为（-∞，0）；
单调递减区间为（0，1）；x=0时g（x）有极大值0．
（2）f′(x)=2x-

2a

1-x

，若f'（x）≥0，即2x-

2a

1-x

≥0?a≤[x（1-x）]_min?a≤-2，
若f'（x）≤0，即2x-

2a

1-x

≤0?a≥[x(1-x)]max?a≥

1

4

，
所以a≤-2或a≥

1

4

．
（3）证明：由（n+1）a_n+1=na_n，用累乘法得an=

1

n

，
由（1）知当x∈（0，1）时g'（x）＜0又g（0）=0，得g（x）=ln（1-x）+x＜g（0）=0，得x＜-ln（1-x）*n≥2?

1

n

∈(0，1)，x=

1

n

代入*得

1

n

＜ln

n

n-1

Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜1+ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=1+ln(

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

)=1+lnn，
所以当n≥2时，S_n＜1+lnn．…（14分）