Question

已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.

(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;

(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析 (2) α=,β=

【解析】

(1)证明:由|a-b|=得

(cosα-cos β)2+(sinα-sinβ)2=2,

即2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=2,

∴cosαcosβ+sinαsinβ=0,

即a·b=0,

∴a⊥b.

(2)解:因为a+b=(cosα+cosβ,sin α+sinβ)=(0,1),

所以

由此得,cosα=cos(π-β),

由0<β<π,得0<π-β<π.

又0<α<π,

故α=π-β.

代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ=,

而α>β,

所以α=,β=.