Question

设集合A={0，2，4，6}，B={1，3，5，7}，从集合A，B中各取2个元素组成没有重复数字的四位数．
（1）可组成多少个这样的四位数？
（2）有多少个是2的倍数或是5的倍数？

Answer 1

分析：（1）若这个四位数中没有0，则这样的四位数共有

C

2 3

•

C

2 4

•

A

4 4

个，若这个四位数中有0，则这样的四位数共有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

个，再把求得的这两个数相加，
即得所求．
（2）是2的倍数的数即偶数，按此偶数中没有0，和这个偶数中有0两种情况，分别求得偶数的个数，相加可得是2的倍数的数的个数．再根据是5的倍数的数，
末位是0或5，求得末位是0的数的个数，求得末尾5的数的个数，可得是5的倍数的数的个数．再把是2的倍数的数的个数与是5的倍数的数的个数相加，即得所求．

解答：解：（1）若这个四位数中没有0，则这样的四位数共有

C

2 3

•

C

2 4

•

A

4 4

=432个，
若这个四位数中有0，则先把0放到除首位外的其它位上，故这样的四位数共有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=324个，
故所有的四位数共有432+324=756 个．
（2）①是2的倍数的数即偶数，若此偶数中没有0，则这样的偶数共有

C

2 3

•

C

2 4

•

C

1 2

•

A

3 3

=216个．
若这个偶数中有0，则有

C

1 3

•

C

2 4

种选法，且0应排在个位或者是中间2个位上，不能排在首位．
当0排在个位，这样的偶数共有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=108个；
当0排在中间位，则另一个偶数在个位上，有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

1 2

•

A

2 2

=72个，
故有0的偶数公有108+71=180 个．
综上，是2的倍数的共有216+180=396个．
②是5的倍数的数，末位是0或5，
若末位是0，则有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=108个，
若末位是5 且这个四位数中没有0，则有

C

2 3

•

C

1 3

•

A

3 3

=54个，
若末位是5 且这个四位数中有0，则有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

1 2

•

A

2 2

=36个，
综上可得，是5的倍数的数共有108+54+36=198 个．
故是2的倍数或是5的倍数的共有396+198=594个．

点评：题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，注意特殊元素和特殊位置，要优先考虑，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．