Question

【题目】设函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围；

（3）求整数的值，使函数在区间上有零点．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）1

【解析】

（1）求出原函数的导函数，得到f'（1），代入直线方程的点斜式得答案；

（2）由f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，分离参数a，可得a＜xex，构造函数g（x）＝xex，利用导数求其最小值可得a的取值范围；

（3）由F（x）＝0，得，当x＜0时方程不成立，可得F（x）的零点在（0，+∞）上，由函数单调性可得方程仅有一解x0，再由零点判定定理求得整数n的值．

（1），

∴，∴所求切线方程为，即.

（2）∵，对恒成立，∴对恒成立.

设，令，得，令得，

∴在上递减，在上递增，

∴，∴.

（3）令得，当时，，

∴的零点只能在上，

在上大于0恒成立，∴函数在上递增.

∴在上最多有一个零点.

∵，

由零点存在的条件可得在上有一个零点，且，

所以