题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（I）求角B的大小；
（II）设向量 $数学公式$ =（sinA，cos2A）， $数学公式$ =（2cosA，1），f（A）= $数学公式$ • $数学公式$ ，求f（A）取得最大值和最小值时A的值．

解：（I）由正弦定理得；（2a-c）cosB=bcosC?（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
?2sinAcosB=sin（B+C）=sinA
∴cosB= $\text{[math]}$ ，又B∈（0，π）
∴B= $\text{[math]}$
（II）f（A）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2sinAcosA+cos2A=sin2A+cos2A= $\text{[math]}$ sin（2A+ $\text{[math]}$ ）
由（I）知，0＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜2A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴2A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即A= $\text{[math]}$ 时，f（A）取最大值 $\text{[math]}$
2A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即A= $\text{[math]}$ 时，f（A）取最小值- $\text{[math]}$
分析：（I）先利用正弦定理将（2a-c）cosB=bcosC中的边化为角，再利用两角和的正弦公式将三角函数式化简即可得cosB= $\text{[math]}$ ，从而由角B的范围得B值
（II）先利用向量数量积运算性质，求得函数f（A）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，利用角A的范围，求得f（A）取得最大值和最小值时A的值
点评：本题主要考查了正弦定理得应用，利用三角变换公式化简和求值的能力，y=Asin（ωx+φ）型函数的性质应用，属中档题