Question

数学归纳法证明（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=的第二步中，当n=k+1时等式左边与n=k时等式左边的差等于________．

Answer 1

3k+2
分析：根据条件分别求出n=k时左边的式子：（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时左边的式子：左边=（k+1+1）+（k+1+2）+…+（k+1+k-1）+（k+1+k）+（k+1+k+1），从而可求出当n=k+1时等式左边与n=k时等式左边的差．
解答：由题意，n=k时，则（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=
当n=k+1时，左边=（k+1+1）+（k+1+2）+…+（k+1+k-1）+（k+1+k）+（k+1+k+1）
=（k+2）+（k+3）+…+（k+k）+（k+1+k）+（k+1+k+1）
=（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（k+k）+（k+1+k）+（k+1+k+1）-（k+1）
=+3k+2
∴当n=k+1时等式左边与n=k时等式左边的差等于3k+2
故答案为 3k+2
点评：本题以等式为载体，考查用数学归纳法证明等式，分别写出n=k+1，n=k时，左边的式子是解题的关键．