Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.

(1)试求常数a、b、c的值；

(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.

Answer 1

解:(1)由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.

∴a=,b=0,c=.

(2)f(x)=x³x,∴f′(x)=x²=(x-1)(x+1);

当x＜-1或x＞1时,f′(x)＞0;当-1＜x＜1时,f′(x)＜0.

∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数.

∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.