题目内容
烟囱向某周围地区散落烟尘造成环境污染.已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比,而与该烟囱喷出的烟尘量成正比.现有A,B两座烟囱相距20 km,其中,B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍,试求出两座烟囱连线上的一点C,使该点的烟尘浓度最低.
思路分析:列出烟囱浓度与点C到A,B的距离的函数关系式,再利用导数求最小值.
解:不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1,则B烟囱喷出的烟尘量为8,
设|AC|=x,则0＜x＜20.
∴|BC|=20-x.
依题意得点C处的烟尘浓度y为y=
(k为比例系数).
∴y′=
.
令y′=0,得(3x-20)·(3x2+400)=0.
又0＜x＜20,
∴x=
.
∵当x∈(0,
)时,y′＜0,x∈(
,20)时,y′＞0,
∴当x=
时,y取最小值.
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（2007•湛江二模）烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．
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