Question

某市环保局为贯彻十七大报告提出加大保护环境力度方针．调查了该市水泥厂的污染情况，调查发现，水泥厂的烟囱向其他周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A，B两座水泥厂烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比（比例系数均为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设B处烟尘量为1，则A处烟尘量为8，根据烟尘浓度与到烟囱距离的关系可求得A、B在C处的烟尘浓度，然后两者相加可得y关于x的函数．
（2）对（1）中函数进行求导，然后令导函数等于0求x的值，然后判断原函数的单调性进而可求得最小值．

解答：解：（1）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，
由AC=x（0＜x＜20），可得BC=20-x．           …（2分）
C处的烟尘浓度y的函数表达式为y=

k

x2

+

k•8

(20-x)2

(0＜x＜20)．…（4分）
（2）对（1）中的函数表达式求导得y′=-

2k

x3

+

16k

(20-x)3

=

2k(9x3-60x2+1200x-8000)

x3(20-x)3

…（8分）
令y′=0，得（3x-20）（3x²+400）=0，
∵0＜x＜20，
∴x=

20

3

…（11分）
∵当x∈(0，

20

3

)时y′＜0，当x∈(

20

3

，20)时y′＞0，
∴当x=

20

3

时，y有最小值．   …（12分）
故存在点C，当AC=

20

3

km时，该点的烟尘浓度最低．…（13分）

点评：本题以环保为素材，考查函数模型的构建，考查根据导数求函数的最值的问题．属中档题．题．