Question

4．定义max{x₁，x₂，x₃，…，x_n}表示x₁，x₂，x₃，…，x_n中的最大值．
已知数列a_n=$\frac{1000}{n}$，b_n=$\frac{2000}{m}$，c_n=$\frac{1500}{p}$，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N^*．记d_n=max{a_n，b_n，c_n}
（Ⅰ）求max{a_n，b_n}
（Ⅱ）当k=2时，求d_n的最小值；
（Ⅲ）?k∈N^*，求d_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，max{a_n，b_n}=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{2000}{kn}$}，$\frac{1000}{n}$-$\frac{2000}{kn}$=$\frac{1000（k-2）}{kn}$，分别求得k=1、k=2及k≥3时，分别求得max{a_n，b_n}；
（Ⅱ）当k=2时，由（Ⅰ）可得d_n=max{a_n，c_n}=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{1500}{200-3n}$}，根据数列的单调性求得n=$\frac{400}{9}$，d_n取得最小值，44＜$\frac{400}{9}$＜45，分别求得d₄₄和d₄₅，比较即可求得d_n取得最小值；
（Ⅲ）由（II）可知，当k=2时，d_n的最小值为$\frac{250}{11}$，当k=1及k≥3时，根据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较即可求得d_n取得最小值；

解答 解：（ I）由题意，max{a_n，b_n}=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{2000}{kn}$}，
因为$\frac{1000}{n}$-$\frac{2000}{kn}$=$\frac{1000（k-2）}{kn}$，
所以，当k=1时，$\frac{1000}{n}$＜$\frac{2000}{kn}$，则max{a_n，b_n}=b_n=$\frac{2000}{kn}$，
当k=2时，$\frac{1000}{n}$=$\frac{2000}{kn}$，则max{a_n，b_n}=a_n=$\frac{1000}{n}$，
当k≥3时，$\frac{1000}{n}$＞$\frac{2000}{kn}$，则max{a_n，b_n}=a_n=$\frac{1000}{n}$．…（4分）
（ II）当k=2时，d_n=max{a_n，b_n，c_n}=max{a_n，c_n}=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{1500}{200-3n}$}，
因为数列{a_n}为单调递减数列，数列{c_n}为单调递增数列，
所以当$\frac{1000}{n}$=$\frac{1500}{200-3n}$时，d_n取得最小值，此时n=$\frac{400}{9}$．
又因为44＜$\frac{400}{9}$＜45，
而d₄₄=max{a₄₄，c₄₄}=a₄₄=$\frac{250}{11}$，d₄₅=c₄₅=$\frac{300}{13}$，有d₄₄＜d₄₅．
所以d_n的最小值为$\frac{250}{11}$．…（8分）
（ III）由（II）可知，当k=2时，d_n的最小值为$\frac{250}{11}$．
当k=1时，d_n=max{a_n，b_n，c_n}=max{b_n，c_n}=max{$\frac{2000}{n}$，$\frac{750}{100-n}$}．
因为数列{b_n}为单调递减数列，数列{c_n}为单调递增数列，
所以当$\frac{2000}{n}$=$\frac{750}{100-n}$时，d_n取得最小值，此时n=$\frac{800}{11}$．
又因为72＜$\frac{800}{11}$＜73，
而d₇₂=b₇₂=$\frac{250}{9}$，d₇₂=c₇₂=$\frac{250}{9}$，．
此时d_n的最小值为$\frac{250}{9}$，$\frac{250}{9}$＞$\frac{250}{11}$．
（2）k≥3时，$\frac{1500}{200-（1+k）n}$≥$\frac{1500}{200-4n}$=$\frac{375}{50-n}$，a_n＞b_n，
所以d_n=max{a_n，b_n，c_n}=max{a_n，c_n}≥max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{375}{50-n}$}．
设h_n=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{375}{50-n}$}，
因为数列{a_n}为单调递减数列，数列{$\frac{375}{50-n}$}为单调递增数列，
所以当$\frac{1000}{n}$=$\frac{375}{50-n}$时，h_n取得最小值，此时n=$\frac{400}{11}$．
又因为36＜$\frac{400}{11}$＜37，
而h₃₆=a₃₆=$\frac{250}{9}$，h₃₇=$\frac{375}{13}$，$\frac{250}{9}$＜$\frac{375}{13}$．
此时d_n的最小值为$\frac{250}{9}$，$\frac{250}{9}$＞$\frac{250}{11}$．．
综上，d_n的最小值为d₄₄=$\frac{250}{11}$．…（14分）

点评 本题考查数列的新定义及数列的通项公式，根据函数的单调性求数列的最值，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．