Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与椭圆G交于A，B两点，当以线段AB为直径的圆经过坐标原点时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆C的离心率e=

c

a

=

3

2

，右顶点为A（2，0），能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx=2．由方程组

y=kx+2 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．由方程有两个不等的实数根，解得|k|＞

3

2

．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

．因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，所以x₁x₂+y₁y₂=0，由此能够求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率e=

c

a

=

3

2

，右顶点为A（2，0），
∴a=2，c=

3

，b=1．
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx=2．
由方程组

y=kx+2 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．①…（6分）
因为方程①有两个不等的实数根，
所以△=（16k）²-4（4k²+1）×12＞0，
解得|k|＞

3

2

．…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

．②
因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
所以 

OA

⊥

OB

，

OA

•

OB

=0，即有x₁x₂+y₁y₂=0．…（9分）
所以x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
所以（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．③
将②代入③得

12(k2+1)

4k2+1

-

2×16k2

4k2+1

+4=0，
所以12（k²+1）-2×16k²+4（4k²+1）=0，
解得k=±2．…（13分）
满足|k|＞

3

2

，
所求直线l的方程为y=±2x+2．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线方程的求法，综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意解题能力的培养．