Question

19．如图，已知P是正方形ABCD外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且$\frac{PM}{MA}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）若∠PAD=45°，且PD⊥平面ABCD，求异面直线MN，PD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BP}$，从而$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BP}$共面，由此能证明MN∥平面BCP．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN，PD所成角的余弦值．

解答 （1）证明：∵P是正方形ABCD外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且$\frac{PM}{MA}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BN}$
=-$\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BN}$
=-$\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$
=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}$）+$\overrightarrow{PB}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BP}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{MN}$与$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BP}$共面，
∴$\overrightarrow{MN}$∥平面BCP，
∵MN?平面BCP，∴MN∥平面BCP．
（2）解：∵∠PAD=45°，且PD⊥平面ABCD，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=3，由已知得M（1，0，2），N（1，1，0），D（0，0，0），P（0，0，3），
$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，3），
设异面直线MN，PD所成角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{DP}|}$|=|$\frac{-6}{\sqrt{5}×3}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴异面直线MN，PD所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．