Question

已知二次函数f（x）=x²+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．
（1）求集合C；
（2）若方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在C上有解，求实数a的取值范围；
（3）已知t≤0，记f（x）在C上的值域为A，若，x∈[0，1]的值域为B，且A⊆B，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把函数f（x）=x²+x代入不等式，化简解答即可．
（2）先把函数f（x）=x²+x代入方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1），方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在C上有解，转化为a^x在某一范围上有解，利用图象及根的存在性定理，解答即可．
（3）先求A再求B，利用A⊆B转化为不等式组，解答即可．
解答：解：（1）原不等式可转换为2x²≤2|x|，
当x≥0时，2x²≤2x，解得0≤x≤1 （2分）
当x＜0时，2x²≤-2x，解得-1≤x＜0，所以C=[-1，1]（4分）
（2）由f（a^x）-a^x+1-5=0得（a^x）²-（a-1）a^x-5=0
令a^x=u，因为x∈[-1，1]，所以
则问题转化为求内有解．（6分）
（7分）
由图象及根的存在性定理得（9分）
解得a≥5．（10分）
（3）g′（x）=3x²-3t≥0（因为t≤0）
所以，在x∈[0，1]上单调递增．
所以函数g（x）的值域（13分）
因为A⊆B，所以解得（16分）
点评：本题考查二次不等式的解法，根的存在性定理，数形结合，
考查等价转化思想，导数的应用，是难题．