Question

【题目】已知，其中.

（1）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；

（2）求的极值；

（3）若函数有两个极值点， ，证明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;

（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）见解析.

【解析】试卷分析：（Ⅰ）当a=0时，求得f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求得f（x）的导数，可得有两个不同的实根，讨论当a≤0时，当a>0时，判断单调性可得极大值大于0，解不等式即可得到所求范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，， ，构造函数对不等式进行证明；

试卷解析：

（Ⅰ）当时，，，

所以切线的斜率，又直线过原点，所以，

由得，.

所以，故切线的方程为，即.

（Ⅱ）由 ，可得，

①当时 ， ，在上单调递增，在上单调递减，

在时取到极小值，且，没有极大值；

②当时 或， .在，上单调递增，

在上单调递减，在时取到极大值，

且，在时取到极小值，且；

③当时恒成立，在上单调递增，没有极大值也没有极小值；

④当时 或， ，在，上单调递增，

在上单调递减，在时取到极小值，且.在时取到极大值，且.

综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值；

当时，在时取到极大值，在时取到极小值；

当时，没有极大值也没有极小值；当时，在时取到极小值.

在时取到极大值.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，，

且 .

所以 ，

设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，

由且可得，所以 ，

即 .