Question

（本小题满分14分）设椭圆：的离心率为，点（，0），（0，），原点到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线：与椭圆相交于、不同两点，经过线段上点的直线与轴相交于点，且有，，试求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅰ）由得  ……1分
可得直线的方程 …………2分，
点O到直线AB的距离为，即，……………………3分
将代入解得 ，所以椭圆的方程为  …………………………5分
（Ⅱ）设，由方程组得，……6分
所以有，，且，即 …………7分

  ……9分
因为，所以，又，所以是线段的中点，
点的坐标为，即的坐标是，
因此，直线的方程为，得点的坐标为（0，）……10分
所以   ……11分
因此……12分
所以当，即时，取得最大值，最大值为 ……14分