Question

过等轴双曲线C：x²-y²=1上一点P（，1）作两条相互垂直的直线分别交双曲线C于A、B两点.

（1）求证：直线AB的斜率为一定值；

（2）若|AB|=，求直线PA的斜率.

Answer 1

证明：过P（，1）作PA、PB分别交双曲线于?A（x₁?,y₁）,B（x₂,y₂）,记PA斜率为k,而?PA⊥?PB,则PB斜率为-.将PA方程：y-1=k（x-）代入x²-y²=1中整理得：（k²-1）x²+2k（1-k）x+（1-k）²+1=0.

由韦达定理知x₁+x₀=,其中x₀=，求得x₁=,

同理求得x₂=,

于是x₂-x₁=,                         ①

又y₁=k（x₁-）+1?

=,?

y₂=-（x₂-）+1?

=,?

于是y₂-y₁=,                              ②

∴k_AB=-.?

解：（2）|AB|=|x₂-x₁|?

=.

求得k=±2或±.?

∴所求直线PA的斜率为±2或±.