Question

在△ABC中，BC=2，AC=

2

，AB=

3

+1．
（1）求

AB

•

AC

的值；
（2）若

BP

=(1-λ)

BA

+λ

BC

(λ＞0)，且△ABP的面积为

3 +1

4

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）由cosA=

2+( 3 +1)2-4

2× 2 ×( 3 +1)

=

2

2

，知A=

π

4

，由此能求出

AB

•

AC

的值．
（2）由

BP

=(1-λ)

BA

+λ

BC

，知

AP

=λ

AC

(λ＞0)，所以A、P、C三点共线．由△ABP的面积为

3 +1

4

，能求出实数λ的值．

解答：解：（1）∵△ABC中，BC=2，AC=

2

，AB=

3

+1．
∴cosA=

2+( 3 +1)2-4

2× 2 ×( 3 +1)

=

2

2

，
∴A=

π

4

，

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA=

3

+1．
（2）∵

BP

=(1-λ)

BA

+λ

BC

，
∴

BP

-

BA

=λ(

BC

-

BA

)，
即

AP

=λ

AC

(λ＞0)，
∴A、P、C三点共线．
∵S△ABP=

1

2

AB•AP•sinA=

1

2

(

3

+1)•AP•

2

2

=

3 +1

4

，
∴AP=

2

2

，
∴λ=

1

2

．

点评：本题考查向量的综合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．