Question

已知m、x∈R，向量

a

=(x，-m)，

b

=((m+1)x，x)．
（1）当m＞0时，若|

a

|＜|

b

|，求x的取值范围；
（2）若

a

•

b

＞1-m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）|

a

|2=x²+m²，|

b

|2=(m+1)2x2+x2（4分）
∵|

a

|＜|

b

|
∴x²+m²＜（m+1）x²+x²
∵m＞0
∴(

m

m+1

)2＜x2（6分）
∴x＜-

m

m+1

或x＞

m

m+1

（8分）
（2）∵

a

• 

b

=（m+1）x²-mx（10分）
由题意可得（m+1）x²-mx＞1-m对 任意的实数x恒成立
即（m+1）x²-mx+m-1＞0对任意x恒成立
当m+1=0即m=-1时，显然不成立．
从而

m+1＞0 m2-4(m+1)(m-1)＜0

（12分）
解可得

m＞-1 m＞ 2 3 3 或m＜- 2 3 3

∴m＞

2 3

3

（14分）