Question

已知m、x∈R，向量

a

=(x，-m)，

b

=((m+1)x，x)．
（1）当m＞0时，若|

a

|＜|

b

|，求x的取值范围；
（2）若

a

•

b

＞1-m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）|

a

|＜|

b

|，可得

a

2＜

b

2，代入向量数量积的坐标表示可求x的范围
（2）由题意可得（m+1）x²-mx+m-1＞0恒成立，从而分m+1=0、m+1≠0两种情况讨论进行求解

解答：解：（1）|

a

|2=x²+m²，|

b

|2=(m+1)2x2+x2（4分）
∵|

a

|＜|

b

|
∴x²+m²＜（m+1）x²+x²
∵m＞0
∴(

m

m+1

)2＜x2（6分）
∴x＜-

m

m+1

或x＞

m

m+1

（8分）
（2）∵

a

• 

b

=（m+1）x²-mx（10分）
由题意可得（m+1）x²-mx＞1-m对 任意的实数x恒成立
即（m+1）x²-mx+m-1＞0对任意x恒成立
当m+1=0即m=-1时，显然不成立．
从而

m+1＞0 m2-4(m+1)(m-1)＜0

（12分）
解可得

m＞-1 m＞ 2 3 3 或m＜- 2 3 3

∴m＞

2 3

3

（14分）

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及向量的数量积的性质应用，不等式恒成立问题的转化是解答本题的关键，本题属于基本知识的综合应用