Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（I）若对?x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（II）证明：对?x₁，x₂∈（0，+∞）时f(x1)＞

x2

ex2

-

2

e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2f（x）≥g（x），得2xlnx≥-x²+ax-3，由于x＞0，则a≤

x2+3+2xlnx

x

，设h(x)=

x2+3+2xlnx

x

，由h′(x)=

x2+2x-3

x2

，能求出a的取值范围．
（II） 设φ（x）=

x

ex

-

2

e

，由已知f(x1)≥

x2

ex2

-

2

e

，等价于f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，由f′（x）=lnx+1=0时，x=

1

e

，知f（x）的最小值为f（

1

e

）=-

1

e

．由此能够证明对?x₁，x₂∈（0，+∞）时f(x1)＞

x2

ex2

-

2

e

．

解答：（Ⅰ）解：由2f（x）≥g（x），
得2xlnx≥-x²+ax-3，
由于x＞0，
则a≤

x2+3+2xlnx

x

，
设h(x)=

x2+3+2xlnx

x

，
h′(x)=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
因而h（1）最小为4，那么a≤4．
（II） 证明：设φ（x）=

x

ex

-

2

e

，由已知f(x1)≥

x2

ex2

-

2

e

，
等价于f（x）的最小值不小于φ（x）的最大值，
由f′（x）=lnx+1=0时，x=

1

e

，
知f（x）的最小值为f（

1

e

）=-

1

e

．
∅′（x）=

ex-xex

e2x

 =0时，x=1，∅（x）的最大值为∅（1）=-

1

e

．
因而xlnx＞

x

ex

-

2

e

，从而对?x₁，x₂∈（0，+∞）时，
f(x1)≥

x2

ex2

-

2

e

．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．