题目内容
正四棱锥P－ABCD的各条棱长相等，E、F、G、H分别是AB、CD、PA、PC的中点．
(1)求证：GF∥平面PBC；
(2)求异面直线GF与HE所成角的余弦值；
(3)求三棱锥H－EFG与四棱锥P－ABCD的体积之比．
答案：
解析：
解析：
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(1)连结EG、EF， ∵EF∥BC，EG∥BP ∴EF∥平面PBC，EG∥平面PBC， ∴平面EFG∥平面PBC． ∴FG∥平面PBC． (2)设PA＝a，取PB中点M，取PM中点N，连结MC，NH，EN． ∴FG∥MC，MC∥NH ∴∠EHN是异面直线EH与FG所成的角(或其补角)． 在△EHN中，EH＝ ∴EN＝ ∴异面直线EH与FG所成角余弦值为 (3)∵平面EFG∥平面PBC． ∴点H到平面EFG的距离与点B到平面EFG距离相等． ∴ ∵点G到平面ABCD的距离是点P到平面ABCD距离的一半， 且 ∴ |
，HN＝
，
，∴cos∠EHN＝
．
∶
＝1∶4．
＝1∶8．
练习册系列答案
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．M为线段PC的中点．
的正四棱锥P－ABCD内接于球O，则球面上A、B两点间的球面距离是
（B）
（C）
（D）
．M为线段PC的中点．
平面BDE
