Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cosC+ccosB=0， ∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，
即sin（B+C）=﹣2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，
∴1=﹣2cosC，得cosC= ，
又0＜C＜π，∴C= ；
（Ⅱ）由（I）得C= ，则A+B=π﹣C= ，
即B= ﹣A，所以 ，
∴sinAcosB=sinAcos（ ﹣A）
=sinA（cos cosA+sin sinA）=sinA（ cosA+ sinA）
= sin2A+ = （ ）
=
∵ ，∴ ，
则 ，
即 ，
∴sinAcosB的取值范围是 ．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小；（Ⅱ）由（I）和内角和定理表示出B，并求出A的范围，代入sinAcosB后，由两角差的余弦公式、正弦公式化简后，由A的范围和正弦函数的性质求出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．