Question

已知定义在R上的函数f(x)和数列{a_n}满足下列条件：

a₁=a，a_n=f(a_n-1)(n=2，3，4，…)，其中a为常数，k为非零常数。

（1）令b_n=a_n+1-a_n(nÎN*)，证明数列{b_n}是等比数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式；

（3）当|k|<1时，求。

 

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力。 （1）证明：由b1=a2-a1¹0，可得b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)¹0。 由数学归纳法可证bn=an+1-an=0(nÎN*) 由题设条件，当n³2时， 因此，数列{bn}是一个公比为k的等比数列。 （2）解：由（1）知，bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nÎN*) 当k¹1时， 当k=1时，b1+b2+…+bn-1=(n-1)(a2-a1)(n³2) 而b1+b2+…+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an-a1(n³2) 所以，当k¹1时， 上式对n=1也成立。所以，数列{an}的通项公式为 。 当k=1时，an-a1=(n-1)(a2-a1)(n³2)。 上式对n=1也成立。所以，数列{an}的通项公式为an=a+(n-1)(f(a)-a)(nÎN*)， （3）解：当|k|<1时