Question

已知函数，．

（I）证明：当时，在上是增函数；

（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数       ，当时，在闭区间上是减函数；

（III）证明：．

Answer 1

本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

（Ⅰ）证明：由题设得

    又由，即

   

    由此可知，在R上为增函数。

（Ⅱ）证法一：因为是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t>k时，，即

在闭区间[]上成立即可

因为在闭区间[]上连续，故在闭区间[]上有最大值，设其为k，于是在t>k时，在闭区间[]上恒成立，即在闭区间[]上为减函数。

      证法二：因为是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t>k时，，

      在闭区间[]上成立即可。

      令，则（）当且仅当

     

      而上式成立只需

      即

      成立取与中较大者记为k，易知当t>k时，在闭区间[]上恒成立，即在闭区间[]上为减函数

（Ⅲ）证法一：设，即

      ，

 易得

       

  令，则，易知，当时，>0，当时，<0。故当时，取得最小值，=1，所以

于是对任意，有，即

证法二：设,

        当且仅当

  

只需证明

        ，

即 

以下同证法一  

证法三：设，则

       

易得,当时，；当时，，故当时，取得最小值，即

 

以下同证法一 

证法四：

设点A、B的坐标分别为（）、（t,t），易知点B在直线上，令点A到直线的距离为d，则

       

以下同证法一