Question

（07年辽宁卷理）（12分）

已知函数，．

（I）证明：当时，在上是增函数；

（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；

（III）证明：．

Answer 1

本小题主要考察二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解析：（I）证明：由题设得，。又由，且得，即。由此可知，在上是增函数。

（II）因为是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t>k时，即在闭区间上成立即可。因为在闭区间上连续，故在闭区间上有最大值，设其为k，于是在t>k时，在闭区间上恒成立，

即在闭区间上为减函数。    

（III）设，即

，

易得

。

令，则，易知。当时，；当时，。故当时，取最小值，。所以

，

于是对任意的，都有，即。