Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AA₁=1直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30º，AE垂直BD于E，F为A₁B₁的中点.

（I）求异面直线AE与BF所成的角；

（II）求平面BDF与平面AA₁B所成的二面角（锐角）的大小；

（III）求点A到平面BDF的距离.

Answer 1

解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图。

由已知可得。

又平面，从而与平面所成的角为，

又，。

从而易得  …………

（Ⅰ）∵

∴。

即异面直线所成的角为。

（II）易知平面的一个法向量=(0,1,0).设=(x，y，z)是平面的一个法向量，

由

即,…………………………

∴

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为…………

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量n上的投影的绝对值，

所以距离

所以点到平面的距离为。……………………

解法二：（I）连结，过作的垂线，垂足为。

∵与两底面都垂直，

∴

又因此。

∴为异面直线与所成的角。……………………

连结，由FK⊥BDD₁B₁得，从而为Rt△。

在和中，由得

，又，

∴

∴异面直线所成的角为。……………………

（Ⅱ）由于，由作的垂线，垂足为，连结，由三垂线定理知。

∴即为平面与平面所成二面角，且，在平面中，延长与交于点。

∵为的中点，且，

∴分别为的中点，

即，

∴为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点，即重合。

易得。在中，，

∴∴

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为。

（III）由（II）知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面，

∴面面。

在中，由作于，则即为点到平面的距离。

由，得

。

所以点到平面的距离为。