Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=DD₁=1，DC=

2

，点E是B₁C₁的中点，点F在AB上，建立空间直角坐标系如图所示．
（1）求

AE

的坐标及长度；
（2）求点F的坐标，使直线DF与AE的夹角为90°．

Answer 1

分析：（1）确定A，E的坐标，可得

AE

的坐标及长度；
（2）假设点F的坐标，利用直线DF与AE的夹角为90°，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，A（1，0，0），E（

1

2

，

2

，1），∴

AE =(- 1 2 ， 2 ，1)

∴

|AE |=|(- 1 2 ， 2 ，1)

.

=

13

2

；
（2）设F（1，y，0），则

DF

=（1，y，0）
∵直线DF与AE的夹角为90°，
∴

DF

⊥

AE

∴

- 1 2 + 2 y=0

∴y=

2

4

∴F(1，

2

4

，0)

点评：本题考查向量的坐标及模长的计算，考查向量的数量积，正确表示向量是关键．