Question

20．如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′-BCD，如图2．
（1）当A′C=2，求证：A′C⊥平面BCD；
（2）设BD的中点为E，当三棱锥A′-BCD的体积最大时，求点E到平面A′BC的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：A′B=A′D=BD=2$\sqrt{2}$，A′C=BC=CD=2，利用勾股定理的逆定理可得：A′C⊥BC，A′C⊥CD，即可证明；
（2）当三棱锥A′-BCD的体积最大时，则平面A′BD⊥平面BCD，连接A′E，由A′E⊥BD，可得A′E⊥平面BCD，过点E作EF⊥BC于F，连接A′F，则A′F⊥BC；过点E作EM⊥A′F于M，则EM⊥平面A′BC，EM即为所求的距离．利用直角三角形的面积即可得出．

解答 （1）证明：由题意可得：A′B=A′D=BD=2$\sqrt{2}$，A′C=BC=CD=2，
∴A′C²+BC²=A′B²，A′C²+CD²=A′D²，
∴A′C⊥BC，A′C⊥CD，BC∩CD=C．
∴A′C⊥平面BCD．
（2）解：当三棱锥A′-BCD的体积最大时，则平面A′BD⊥平面BCD，
连接A′E，由A′E⊥BD，可得A′E⊥平面BCD，
过点E作EF⊥BC于F，连接A′F，则A′F⊥BC；过点E作EM⊥A′F于M，则EM⊥平面A′BC，
∴EM即为所求的距离．
在Rt△EFA′中，EF=1，${A}^{′}E=\sqrt{6}$，
∴${A}^{′}F=\sqrt{7}$，则EM=$\frac{{A}^{′}E•EF}{{A}^{′}F}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{42}}{7}$．
∴点E到平面A′BC的距离为$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．