Question

如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中点，则直线AE与平面ABC₁D₁所成的角的正弦值是（　　）

• A、

  15

  5

• B、

  15

  3

• C、

  10

  3

• D、

  10

  5

Answer 1

分析：以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线AE与平面ABC₁D₁所成的角的正弦值．

解答：解：以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，
∴A（1，0，0），E（1，

1

2

，1），B（1，1，0）
D₁（0，0，1），
∴

AE

=（0，

1

2

，1），

AB

=（0，1，0），

AD1

=（-1，0，1），
设平面ABC₁D₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n

•

AD1

=0，

n

•

AB

=0，
∴

-x+z=0 y=0

，∴

n

=(1，0，1)，
设直线AE与平面与平面ABC₁D₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=|

1

2 • 5 4

|=

10

5

．
故选：D．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．