Question

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥面BCD，∠ADB=60°，点E、F分别在AC、AD上，使面BEF⊥ACD，且EF∥CD，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为（　　）

• A．

  6

  6

• B．

  7

  7

• C．

  2

  4

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：先判断∠EBC为平面BEF与平面BCD所成的二面角，再在△ABC中，求出平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值．

解答：解：由题意，∵AB⊥面BCD，CD?面BCD，
∴AB⊥CD
∵∠BCD=90°
∴CD⊥BC
∵AB∩BC=B
∴CD⊥面ABC
∵BE?面ABC
∴CD⊥BE
∵EF∥CD
∴BE⊥EF
∵面BEF⊥面ACD，面BEF∩面ACD=EF
∴BE⊥面ACD
∵AC?面ACD
∴BE⊥AC
∵EF∥CD，EF?面BEF，EF?面BCD
∴EF∥面BCD
设面BEF∩面BCD=l
∴EF∥l
∴∠EBC为平面BEF与平面BCD所成的二面角
∵∠BCD=90°，BC=CD=1
∴BD=

2

∵AB⊥面BCD，∠ADB=60°
∴AB=

6

在△ABC中，BE⊥AC
∴∠EBC=∠BAC
∵AB=

6

，BC=1
∴AC=

7

∴sin∠BAC=

7

7

∴平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为

7

7

故选B．

点评：本题是求无棱二面角的平面角，解题的关键是正确作出二面角的平面角，难度较大，很容易做错，要小心．