Question

16．设a_n是函数f_n（x）=xⁿ+nx-1的零点，n∈N⁺，x∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求证：a_n∈（0，1），且a_n+1＜a_n；
（Ⅱ）求证：a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：f_n（x）在（0，+∞）上是单调递增的，a_n是唯一的，利用零点存在定理证明a_n∈（0，1），证明a_n≥$\frac{1}{n+1}$，同理：$\frac{1}{n+2}$≤a_n+1＜$\frac{1}{n+1}$，即可证明a_n+1＜a_n；
（Ⅱ）先证明n=1，2时，结论成立，再用裂项法即可证明：a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$＜1．

解答 证明：（I）∵f_n（x）=xⁿ+nx-1，
∴f_n′（x）=nx^n-1+n＞0，
∴f_n（x）在（0，+∞）上是单调递增的，
∴a_n是唯一的，…2分，
由f_n（0）=-1＜0，f_n（1）=n＞0且y=f_n（x）的图象在（0，+∞）上是连续不断的，
∴a_n∈（0，1），…4分
又∵f_n（$\frac{1}{n}$）=$（\frac{1}{n}）^{n}$＞0，f_n（$\frac{1}{n+1}$）=$（\frac{1}{n+1}）^{n}$+$\frac{n}{n+1}$-1=$（\frac{1}{n+1}）^{n}$-$\frac{1}{n+1}$＜0，
∴a_n∈[$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{n}$），
∴a_n≥$\frac{1}{n+1}$…6分，
同理：$\frac{1}{n+2}$≤a_n+1＜$\frac{1}{n+1}$，
∴a_n+1＜a_n；…7分；
（II）∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴${{a}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{4}$＜1，
又a_n=$\frac{1-{{a}_{n}}^{n}}{n}$＜$\frac{1}{n}$，
∴${{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}$＜（$（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}＜1$，…9分；
当n≥3时，a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$＜$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$+…+$（\frac{1}{n}）^{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1．…13分．

点评 本题考查函数的零点，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．