题目内容
已知函数f（x）=2x2-10x，（x∈R），问是否存在自然数m，使得方程f(x)+
=0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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分析：依题意，将f（x）+
=0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解转化为2x3-10x2+37=0在（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数根，通过导数可分析得方程h（x）=0在（3，
），（
，4）内分别有唯一实数根，而在（0，3），（4，+∞）内没有实数根，从而可得答案．
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| x |
| 10 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
解答：解：依题意，问题等价于方程2x3-10x2+37=0在（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数根，
令h（x）=2x3-10x2+37，
h′（x）=6x2-20x=6x（x-
），
当x∈（0，
）时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，
）上单调递减；
当x∈（
，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在区间（
，+∞）上单调递增；…4分
由于h（3）=1＞0，h（
）=-
＜0，h（4）=5＞0，…7分
所以方程h（x）=0在（3，
），（
，4）内分别有唯一实数根，而在（0，3），（4，+∞）内没有实数根…10分
所以存在唯一自然数m=3使得方程f（x）+
=0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解．…12分
令h（x）=2x3-10x2+37，
h′（x）=6x2-20x=6x（x-
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当x∈（0，
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| 3 |
当x∈（
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| 3 |
| 10 |
| 3 |
由于h（3）=1＞0，h（
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| 3 |
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所以方程h（x）=0在（3，
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| 3 |
| 10 |
| 3 |
所以存在唯一自然数m=3使得方程f（x）+
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| x |
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于难题．
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