Question

已知函数f（x）=4x+（a＞0，a∈R），
（1）判断并证明f（x）在（0，）上的单调性；
（2）讨论函数g（x）=4x+-1（a＞0）在（0，+∞）上的零点的个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）任取，设x₁＜x₂，我们构造出f（x₁）-f（x₂）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
（2）令g（x）=4x+-1=0，利用（1）得上单调递减，同理可得，上单调递增，再对a进行分类讨论，讨论函数y=g（x）的零点．
解答：解：（1）f（x）在上单调递减
证：任取，设x₁＜x₂，则==
∵，
∴
所以f（x）为减函数．
（2）由（1）得上单调递减，同理可得，上单调递增．
故g（x）的最小值为，
∴当时，无零点；
当时，有1个零点； 
当时，有2个零点．
点评：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．