Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．

Answer 1

分析：（1）先设x₁＜x₂，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x），从而求得a值即可．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，
设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

（4分）
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，（6分）
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（7分）
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

，
解得：a=

1

2

．∴f(x)=

1

2

-

1

2x+1

．（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．