设函数F(x )=x2+aln(x+1) 在区间[1,+∞)上是单调递增函数.求实数a的取值范围, 有两个极值点x1,x2且.求证: . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设函数F(x )=x²+aln(x+1)

(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

(II)若函数y=f(x)有两个极值点x₁,x₂且，求证: .

【答案】

（Ⅰ）； (II)见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数，先对函数进行求导，让，在[1,+∞）上是恒成立的，求解可得a的取值范围；(II)令，依题意方程在区间有两个不等的实根，记，则有，得，然后找的表达式，利用导数求此函数单调性，可得结论.

试题解析：（Ⅰ）在区间上恒成立，

即区间上恒成立， 1分

. 3分

经检验，当时，，时，，

所以满足题意的a的取值范围为. 4分

（Ⅱ）函数的定义域，，依题意方程在区间有两个不等的实根，记，则有，得. 6分

法一：，，，

，令， 8分

，， ,

因为，存在，使得，


	-	0	+

，，，所以函数在为减函数， 10分

即 12分

法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.

【证法2】为方程的解，所以,

∵，，，∴,

先证，即证（）,

在区间内，，内，所以为极小值，,

即，∴成立； 8分

再证，即证,

令， 10分

，，,

∴，在为增函数．

．

综上可得成立． 12分

考点：1、导数的运算及性质；2、导数与函数的综合应用.

练习册系列答案

，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

设函数f（x）=p（x-

）-2lnx，g（x）=

（p是实数，e为自然对数的底数）
（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围．

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：
①函数f(x)=(

)x为R上的l高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
③如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；
其中正确的命题是

②③

（填序号）

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x³-4x+3．有下列命题：
①f(-

) ＜f(

)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x³+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2

，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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