Question

如图，

AC

是⊙O的一段劣弧，弦CD平分∠ACB交

AC

于点D，BC切

AC

于点C，延长弦AD交 BC于点B，
（1）若∠B=75°，则∠ADC=

110°

；
（2）若⊙O的半径长为

5

2

，CD=3，则BD=

25

13

．

Answer 1

分析：（1）设∠A=α，由题意可得，∠ADC=∠B+∠BCD=75°+∠BCD，∠A=∠BCD=∠ACD，结合三角形的 内角和定理即可求解α，进而可求∠ADC
（2）由题意可得，∠ACD=∠CAD=∠BCD=α，由正弦定理可得，

3

sinα

=2r=5可求sinα，然后再次利用正弦定理可得BC与BD的关系，由切割线定理可得，BC²=BD•BA可求

解答：解：（1）设∠A=α
由题意可得，∠ADC=∠B+∠BCD=75°+∠BCD
∵BC切

AC

于点C，CD平分∠ACB
由弦切角定理可得，∠A=∠BCD=∠ACD
∵∠A+∠BDC+∠BCD=180°
∴75°+α+α+α=180°
∴α=35°
∴∠ADC=75°+α=110°
（2）由题意可得，∠ACD=∠CAD=∠BCD=α
∵△ADC为圆的内接三角形
由正弦定理可得，

3

sinα

=2r=5
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

△BCD中，∠CDB=2α
由正弦定理可得，

BD

sin2α

=

BC

sinα

∴

BC

BD

=

sin2α

sinα

=2cosα=

8

5

由切割线定理可得，BC²=BD•BA
即

64

25

BD2=BD•(BD+3)
∴BD=

25

13

故答案为：110°，

25

13

点评：本题主要考查了圆的圆周角定理、切割线定理等知识的综合应用，解答本题的关键是灵活利用了正弦定理．