Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），P（x₀，y₀）是直线y=x+2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x₀的函数为e（x₀），函数e（x₀）的最大值是

10

5

．

Answer 1

分析：由题意可得c=1，椭圆离心率e=

c

a

=

1

a

故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大，由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a，a=

|PA|+|PB|

2

，利用对称性可得结论．

解答：解：由题意可得c=1，椭圆离心率e=

c

a

=

1

a

故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．
由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a，a=

|PA|+|PB|

2

．
设点A（-1，0）关于直线y=x+2的对称点的坐标为（m，n），则

n m+1 =-1 n 2 = m-1 2 +2

，解得m=-2，n=1
∴|PA|+|PB|的最小值为

(1+2)2+1

=

5

∴

|PA|+|PB|

2

的最小值为

5

2

∴函数e（x₀）的最大值是

10

5

故答案为：

10

5

点评：本题考查椭圆的定义与几何性质，考查点关于直线的对称性，求得点A（-1，0）关于直线y=x+2的对称点的坐标是关键．