Question

已函数f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函数，且f（1）=2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设F（x）=

x

f(x)

（x＞0）．求F（a）+F（

1

a

）的值，并计算F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函数，由f（-x）=-f（x），结合f（1）=2，利用待系数法求解．
（2）先写出F（x） 的表达式，再分别求得F（a），F（

1

a

）的值，相加即得F（a）+F（

1

a

）的值，最后利用此规律即可计算F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函数，且f（1）=2
∴

b=0 2 a =2

解得：a=1，b=0．
∴f（x）的表达式：f（x）=

x2+1

x

．
（2）F（x）=

x

f(x)

=

x2

x2+1

∴F（a）=

a2

a2+1

，F（

1

a

）=

( 1 a )2

( 1 a )2+1

=

1

a2+1

∴F（a）+F（

1

a

）=1；
∴F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）
=

1

2

+3×1=

7

2

．

点评：本小题主要考查函数的值、函数奇偶性的应用、待系数法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．