Question

正方形ABCD的边长为2，在其内部取点P，则事件“△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积均大于

2

3

”的概率是

1

9

．

Answer 1

分析：点P在正方形内部，P到正方形一边的距离为d，连接P与正方形各顶点的三角形的面积为

1

2

×2×d=

2

3

，知P到正方形四边的距离均大于

2

3

，从而确定出P所在的区域，用P点所在区域的面积除以正方形ABCD的面积即可．

解答：解：如图，点P在正方形ABCD内部，同时保证“△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积均大于

2

3

”，则需要点P到正方形的四条边的距离均大于

2

3

，
即点P在正方形内部以

2

3

为边长的正方形区域内，且小正方形的每一条边到与它相邻的大正方形的边的距离为

2

3

，
其概率为

2 3 × 2 3

2×2

=

1

9

．
故答案为

1

9

．

点评：本题考查了几何概型，求几何概型的概率关键是看测度比是长度比还是面积比，亦或是体积比等，解答此题的关键是找到P点所在的区域，是基础题．