题目内容

已知0＜x＜
π
2
，sinx-cosx=
π
6
，存在a，b，c（a，b，c∈N*），使得（b-πc）tan2x-atanx+（b-πc）=0，则a+b+c等于（　　）
分析：将sinx-cosx=
π
6
两边平方，再将等式两边同时除以sin2x+cos2x，分子分母同时除以cos2x得到关于tanx的方程，根据演绎推理得到所求．
解答：解：将sinx-cosx=
π
6
两边平方得sin2x-2sinxcosx+cos2x=
π2
36

等式两边同时除以sin2x+cos2x得
sin2x-2sinxcosx+cos2x
sin2x+cos2x
=
π2
36

分子分母同时除以cos2x得
tan2x-2tanx+1
tan2x+1
=
π2
36

化简整理得（36-π2）tan2x-72tanx+36-π2=0
而存在a，b，c（a，b，c∈N*），使得（b-πc）tan2x-atanx+（b-πc）=0
∴a=72，b=36，c=2
即a+b+c=72+36+2=110
故选D．
点评：本题主要考查了简单的演绎推理，以及三角函数恒等变换，同时考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=mx-2+
2
-1（m＞0，m≠1）的图象恒通过定点（a，b）．设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若动点T（t，0）在椭圆E长轴上移动，点T关于直线y=-x+
1
t2+1
的对称点为S（m，n），求
n
m
的取值范围．
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
已知⊙F1：(x+
3
)2+y2=16，F2(
3
，0)，在⊙F1上取点P，连接PF2，作出线段PF2的垂直平分线交PF1于M，当点P在⊙F1上运动时M形成曲线C．（如图）
（1）求曲线C的轨迹方程．
（2）过点F2的直线l交曲线C于R，T两点，满足|RT|=
3
2
，求直线l的方程．
（3）点Q在曲线C上，且满足∠F1QF2=
π
3
，求S△F1F2Q．
已知函数f(x)=sin(
π
2
+x)cos(-x)+4sin
x
2
cos3
x
2
-sinx，
（Ⅰ）求函数f（x）在x∈[0，
π
2
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，BC=2，S△ABC=1，求AC边的长．
已知函数f(x)=mx-2+
2
-1（m＞0，m≠1）的图象恒通过定点（a，b）．设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若动点T（t，0）在椭圆E长轴上移动，点T关于直线y=-x+
1
t2+1
的对称点为S（m，n），求
n
m
的取值范围．

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