Question

已知函数f(x)=mx-2+

2

-1（m＞0，m≠1）的图象恒通过定点（a，b）．设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若动点T（t，0）在椭圆E长轴上移动，点T关于直线y=-x+

1

t2+1

的对称点为S（m，n），求

n

m

的取值范围．

Answer 1

（1）∵当x=2时，f(2)=m2-2+

2

-1=

2

，
∴函数f（x）的图象通过定点(2，

2

)．
∴a=2，b=

2

.
所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵点T与点S关于直线y=-x+

1

t2+1

对称，
∴

n m-t =1 n 2 =- m+t 2 + 1 t2+1

，
解方程组得

m= 1 t2+1 n= 1 t2+1 -t

．
设?(t)=

n

m

=-t3-t+1(t∈[-2，2])，
∵?′（t）=-2t²-1＜0，
∴?（t）在区间[-2，2]上是减函数．
∵?（-2）=11，?（2）=-9，
∴

n

m

的取值范围是[-9，11]．