Question

椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  10

  3

• C、

  20

  3

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据△ABF₂的面积=△AF₁F₂的面积+△BF₁F₂的面积求得△ABF₂的面积=3|y₂-y₁|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y₂-y₁|的值．

解答：解：椭圆：

x2

25

+

y2

16

=1，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦点F₁（-3，0）、F₂（ 3，0），
△ABF₂的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=

1

2

，
而△ABF₂的面积=△AF₁F₂的面积+△BF₁F₂的面积=

1

2

×|y₁|×|F1F₂|+

1

2

×|y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂-y₁|（A、B在x轴的上下两侧）
又△ABF₂的面积═

1

2

×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|=

1

2

×

1

2

（2a+2a）=a=5．
所以 3|y₂-y₁|=5，
|y₂-y₁|=

5

3

．
故选A．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△ABF₂的面积，属于中档题．