Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=

17

，求l的倾斜角．

Answer 1

分析：（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径R，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，判断出d小于等于1，即d小于圆的半径R，可得直线与圆相交，则对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点，得证；
（2）由直线l与圆C交于A，B两点，AB为圆C的弦，根据垂径定理得到弦长的一半，圆的半径及弦心距d构成直角三角形，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出直线l的方程，进而求出直线l的倾斜角．

解答：解：（1）圆C的圆心坐标为（0，1），半径为

5

，
∵圆心C到直线l的距离d=

|m•0-1•1+1-m|

m2+(-1)2

=

|m|

m2+1

≤1（m∈R），
即d＜r=

5

，
∴直线l与圆C相交，
则对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；　
（2）∵R=

5

，d=

|m|

m2+1

，|AB|=

17

，
∴根据垂径定理及勾股定理得：

|AB|

2

=

R2-d2

，即

17

4

=5-

m2

m2+1

，
整理得：m²=3，解得：m=±

3

，
∴直线l的方程为

3

x-y+1-

3

=0或

3

x+y-1-

3

=0，
则直线l的倾斜角为：60°或120°．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及直线的倾斜角与斜率的关系，是一道综合性较强的中档题．